Lección 5

Dilo con decimales

Usemos decimales para describir aumentos y disminuciones.

5.1: Observa y pregúntate: de fracciones a decimales

Una calculadora da las siguientes expansiones decimales para algunas fracciones unitarias:

\(\frac12 = 0.5\)

\(\frac13 =0.3333333\)

\(\frac14 = 0.25\)

\(\frac15 = 0.2\)

\(\frac16 = 0.1666667\)

\(\frac17 = 0.142857143\)

\(\frac18 = 0.125\)

\(\frac19 = 0.1111111\)

\(\frac{1}{10} = 0.1 \)

\( \frac{1}{11}=0.0909091\)

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

5.2: Decimales periódicos

  1. Usa división larga para expresar cada fracción como un decimal.

    \(\frac{9}{25}\)

    \(\frac{11}{30}\)

    \(\frac{4}{11}\)

  2. ¿En qué se parecen tus respuestas a la pregunta anterior? ¿En qué se diferencian?
  3. Usa las representaciones decimales para decidir cuál de estas fracciones tiene el mayor valor. Explica tu razonamiento.


Una aproximación común de \(\pi\) es \(\frac{22}{7}\). Expresa esta fracción como un decimal. ¿En qué se parece esta aproximación a 3.14 o en qué se diferencia?

5.3: Más y menos con decimales

  1. Asocia cada diagrama con una descripción y una ecuación.

    Diagramas:

    Tape diagrams A and B.

    Descripciones:

    Un aumento de \(\frac14\)

    Un aumento de \(\frac13\)

    Un aumento de \(\frac23\)

    Una reducción de \(\frac15\)

    Una reducción de \(\frac14\)

    Ecuaciones:

    \(y=1.\overline{6}x\)

    \(y=1.\overline{3}x\)

    \(y=0.75x\)

    \(y=0.4x\)

    \(y=1.25x\)

  2. Dibuja un diagrama para una de las ecuaciones que no quedó relacionada.

5.4: Clasificación de tarjetas: más representaciones

Tu profesor te dará un juego de cartas que tienen relaciones proporcionales representadas de 2 maneras diferentes: como descripciones y ecuaciones. Mezcla las tarjetas y colócalas boca arriba.

Túrnate con un compañero para asociar una descripción con una ecuación.

  1. Por cada asociación que encuentres, explica a tu compañero cómo sabes que la descripción y la ecuación se pueden asociar.
  2. Por cada asociación que tu compañero encuentre, escucha cuidadosamente su explicación, y si no estás de acuerdo, explica tu razonamiento.
  3. Cuando estés de acuerdo con todas las asociaciones, verifica tus respuestas con la hoja de respuestas. Si hay algún error, discute por qué y revisa tus asociaciones.

Resumen

La división larga nos da una forma para encontrar representaciones decimales de fracciones.

Por ejemplo, para encontrar la representación decimal de \(\frac{9}{8}\), podemos dividir 9 entre 8.

\(\require{enclose} \begin{array}{r} 1.125 \\[-3pt] 8 \enclose{longdiv}{9.000}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{8{\phantom{.0}}} \phantom{00} \\[-3pt] 1\phantom{.}0\phantom{00} \\[-3pt] \underline{8\phantom{0}}\phantom{0} \\[-3pt] 20\phantom{0} \\[-3pt] \underline{16\phantom{0}} \\[-3pt] \phantom{0} 40 \\[-3pt] \underline{40} \\[-3pt] 0 \\ \end{array}\)

Entonces \(\frac{9}{8} = 1.125\).

Algunas veces es más fácil trabajar con la representación decimal de un número y otras veces es más fácil trabajar con su representación fraccionaria. Es importante ser capaz de trabajar con cualquiera. Por ejemplo, considera el siguiente par de problemas:

  • Priya ganó \(x\) dólares haciendo quehaceres y Kiran ganó \(\frac{6}{5}\) de lo que ganó Priya. ¿Cuánto ganó Kiran?
  • Priya ganó \(x\) dólares haciendo quehaceres y Kiran ganó 1.2 veces lo que ganó Priya. ¿Cuánto ganó Kiran?

Como \(\frac{6}{5}=1.2\), estos son exactamente el mismo problema y la respuesta es \(\frac{6}{5}x\) o \(1.2x\).

Cuando trabajemos con porcentajes en lecciones posteriores, la representación decimal será especialmente útil.

Entradas del glosario

  • decimal periódico

    Un decimal periódico tiene dígitos que aparecen una y otra vez, siguiendo el mismo patrón. Los dígitos que se repiten se marcan con una raya encima de ellos. 

    Por ejemplo, la representación decimal de \(\frac13\) es \(0.\overline{3}\), que significa 0.3333333 . . . La representación decimal de \(\frac{25}{22}\) es \(1.1\overline{36}\), que significa 1.136363636 . . .

  • diagrama de cinta

    Un diagrama de cinta es un una colección de rectángulos que se unen para representar una relación entre cantidades.

    Por ejemplo, este diagrama de cinta muestra una razón de 30 galones de pintura amarilla a 50 galones de pintura azul.

    tape diagrams

    Si cada rectángulo se marcara con 5, en vez de 10, entonces la misma imagen podría representar la razón equivalente de 15 galones de pintura amarilla a 25 galones de pintura azul.

  • división larga

    La división larga es un proceso que nos permite encontrar la forma decimal del cociente de dos números. En este proceso se va encontrando dígito a dígito, de izquierda a derecha.

    Por ejemplo, este es un ejemplo del uso de la división larga para encontrar \(57 \div 4\).

    \(\displaystyle \require{enclose} \begin{array}{r} 14.25 \\[-3pt] 4 \enclose{longdiv}{57.00}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{-4\phantom {0}}\phantom{.00} \\[-3pt] 17\phantom {.00} \\[-3pt]\underline{-16}\phantom {.00}\\[-3pt]{10\phantom{.0}} \\[-3pt]\underline{-8}\phantom{.0}\\ \phantom{0}20 \\[-3pt] \underline{-20} \\[-3pt] \phantom{00}0 \end{array} \)
  • porcentaje

    Un porcentaje es una tasa por cada 100.

    Por ejemplo, una pecera puede contener 36 litros. En este momento solo hay 27 litros en la pecera. El porcentaje de la pecera que está lleno es 75%.

  • tasa unitaria

    Una tasa unitaria es una tasa por cada 1.

    Por ejemplo, 12 personas comparten 2 tartas de manera equitativa. Una tasa unitaria es 6 personas por cada tarta, porque \(12 \div 2 = 6\). La otra tasa unitaria es \(\frac16\) de tarta por cada persona, porque \(2 \div 12 = \frac16\).