Lección 8

Considera la ecuación incompleta \(12(x-3)+18=\,\underline{\qquad \qquad}\). Empareja las siguientes expresiones con el número de soluciones que tendría la ecuación si tuviera esa expresión en el lado derecho.

Su profesor les entregará unas tarjetas.

1. Resuelvan juntos cada ecuación.
2. Luego, clasifíquenlas en categorías.
3. Describan las características que definen esas categorías y prepárense para compartir su razonamiento con la clase.

Para cada ecuación, determina si no tiene solución, si tiene una solución o si tiene infinitas soluciones (es decir, cualquier valor de \(x\) la hace verdadera). Si una ecuación tiene una solución, resuélvela para encontrar el valor de \(x\) que la haga verdadera.

1. 1. \(6x+8=7x+13\)
   2. \(6x+8=2(3x+4)\)
   3. \(6x+8=6x+13\)
2. 1. \(\frac14 (12-4x)=3-x\)
   2. \(x-3=3-x\)
   3. \(x-3=3+x\)
3. 1. -\(5x-3x+2=\text{-}8x+2\)
   2. -\(5x-3x-4=\text{-}8x+2\)
   3. -\(5x-4x-2=\text{-}8x+2\)
4. 1. \(4(2x-2)+2=4(x-2)\)
   2. \(4x+2(2x-3)=8(x-1)\)
   3. \(4x+2(2x-3)=4(2x-2)+2\)
5. 1. \(x-3(2-3x)=2(5x+3)\)
   2. \(x-3(2+3x)=2(5x-3)\)
   3. \(x-3(2-3x)=2(5x-3)\)
6. ¿Qué observas de las ecuaciones con una solución? ¿En qué se diferencian de las ecuaciones que no tienen solución y de las son verdaderas para cualquier valor de \(x\)?

A veces es posible mirar la estructura de una ecuación y decir si tiene infinitas soluciones o ninguna solución. Por ejemplo, observa:

\(2(12x+18)+6=18x+6(x+7).\)

Al usar la propiedad distributiva al lado izquierdo y al lado derecho, obtenemos:

\(24x+36+6=18x+6x+42.\)

A partir de aquí, al agrupar términos semejantes, obtenemos:

\(24x+42=24x+42.\)

Sin hacer ninguna movida, sabemos que esta ecuación es verdadera para cualquier valor de \(x\), pues el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación son iguales.

Igualmente, a veces podemos usar la estructura de una ecuación para saber si no tiene soluciones. Por ejemplo, considera

\(6(6x+5)=12(3x+2)+12.\)

Si pensamos en cada movida a medida que avanzamos, podemos detenernos cuando nos damos cuenta de que no hay solución:

\(\begin{align} \frac16 \boldcdot 6(6x+5)&=\frac16 \boldcdot (12(3x+2)+12) &&\text{Se multiplica cada lado por \(\frac16\).}\\ 6x+5 &= 2(3x+2) + 2 &&\text{Se distribuye \(\frac16\) en el lado derecho.}\\ 6x+5 &= 6x+4+2 &&\text{Se distribuye 2 en el lado derecho.} \end{align}\)

La última movida deja en claro que los términos constantes a cada lado, 5 y \(4+2\), no son los mismos. Sabemos que no hay solución porque sumar 5 a una cantidad es siempre menor que sumar \(4+2\) a esa misma cantidad.

Para resolver ecuaciones es necesario saber hacer movidas que mantengan una ecuación balanceada. También es importante comprender lo que la estructura de una ecuación nos dice sobre sus soluciones.