Lección 6

Semejanza

Exploremos figuras semejantes.

6.1: Expresiones equivalentes

Utiliza lo que sabes sobre operaciones y sus propiedades para escribir tres expresiones equivalentes a la expresión que se muestra.

\(\displaystyle 10 (2 + 3) - 8 \boldcdot 3\)

6.2: Transformaciones de semejanza (Parte 1)

  1. El triángulo \(EGH\) y el triángulo \(LME\) son semejantes. Encuentra una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que muestre esto.

    A straight line on a grid. A slope triangle from H down 6 to G and right 4 to E. Another slope triangle from E down 3 to M and right 2 to L.

  2. El hexágono \(ABCDEF\) y el hexágono \(HGLKJI\) son semejantes. Encuentra una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que muestre esto.

    A small L shaped polygon, A right to B, down to C, right to D, down to E, left to F, up to A. Large L shaped polygon G right to H down to I, left to J, up to K, right to L, up to G.


La misma secuencia de transformaciones lleva el triángulo A al triángulo B, lleva el triángulo B al triángulo C, y así sucesivamente. Describe una secuencia de transformaciones con esta característica.

A sequence of transformations on a circular grid. Ask for further assistance.

6.3: Transformaciones de semejanza (Parte 2)

Dibuja figuras semejantes a la figura A, que solo utilicen las transformaciones enumeradas, para mostrar la semejanza.

Figure A, left, bottom, and right sides at right angles, left side taller than right side. A V shape connects the top left to the top right.

 

 

  1. Una traslación y una reflexión. Etiqueta tu dibujo como figura B.
    Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. 
  2. Una reflexión y una dilatación con un factor de escala mayor que 1. Etiqueta tu dibujo como figura C.
  3. Una rotación y una reflexión. Etiqueta tu dibujo como figura D.
  4. Una dilatación con un factor de escala menor que 1 y una traslación. Etiqueta tu dibujo como figura E.

6.4: Métodos para traslaciones y dilataciones

Tu profesor te entregará un juego de cinco tarjetas y a tu compañero le entregará un juego distinto de cinco tarjetas. Usando solo las tarjetas que te entregaron, encuentra al menos una manera de mostrar que el triángulo \(ABC\) y el triángulo \(DEF\) son semejantes. Compara tu método con el método de tu compañero. ¿En qué se parecen sus métodos? ¿En qué se diferencian?

A point P on a grid. Triangle A, B C. Point A 4 below P, point B is 4 right from A, point C 2 up from B. Triangle D E F. Point D 12 below P, point E is 12 right from D, point F is 6 up from E.

 

Resumen

Mostremos que el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\):

Similar triangles. Ask for further assistance.

Dos figuras son semejantes si una figura se puede transformar en la otra por medio de una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones. Existen muchas secuencias correctas de transformaciones, pero solo debemos describir una secuencia para mostrar que dos figuras son semejantes.

Una manera de pasar de \(ABC\) a \(DEF\) es seguir estos pasos:

  • paso 1: reflejar con respecto a la recta \(f\)
  • paso 2: rotar \(90^\circ\) en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de \(D\)
  • paso 3: dilatar con centro \(D\) y factor de escala 2

Otra manera sería dilatar el triángulo \(ABC\) con un factor de escala de 2 y con centro de dilatación \(A\), luego trasladar \(A\) a \(D\), después reflejar con respecto a una recta vertical que pasa por \(D\) y finalmente rotarlo para que coincida con el triángulo \(DEF\). ¿Qué pasos escogerías para mostrar que los dos triángulos son semejantes?

Entradas del glosario

  • semejantes

    Dos figuras son semejantes si una se puede hacer coincidir exactamente con la otra, al realizar una secuencia de transformaciones rígidas y dilataciones.

    En esta figura, el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\).

    Si \(ABC\) se rota alrededor del punto \(B\) y luego se dilata con centro \(O\), entonces va a coincidir exactamente con \(DEF\). Esto significa que son semejantes.