Lección 3

Dilataciones sin cuadrícula

Dilatemos figuras que no están sobre cuadrículas.

3.1: Puntos sobre un rayo

  1. Encuentra y etiqueta un punto \(C\) sobre el rayo cuya distancia desde \(A\) sea el doble de la distancia de \(B\)\(A\).
  2. Encuentra y etiqueta un punto \(D\) sobre el rayo cuya distancia desde \(A\) sea la mitad de la distancia de \(B\)\(A\)
Ray A B.

3.2: Carrera de obstáculos de dilatación

Este es un diagrama que muestra nueve puntos.

Nine points.
  1. Dilata \(B\) usando un factor de escala 5 y \(A\) como centro de dilatación. ¿Cuál punto es su imagen?
  2. Usando \(H\) como centro de dilatación, dilata \(G\) para que su imagen sea \(E\). ¿Qué factor de escala usaste?
  3. Usando \(H\) como centro de dilatación, dilata \(E\) para que su imagen sea \(G\). ¿Qué factor de escala usaste?
  4. Para dilatar \(F\) de forma que su imagen sea \(B\), ¿cuál punto del diagrama se puede usar como centro?
  5. Dilata \(H\) usando \(A\) como centro de dilatación y un factor de escala \(\frac{1}{3}\). ¿Cuál punto es su imagen?
  6. Describe una dilatación que use uno de los puntos etiquetados como centro y que lleve \(F\)\(H\).
  7. Usando \(B\) como centro de dilatación, dilata \(H\) para que sea su propia imagen. ¿Qué factor de escala usaste?

3.3: Poner en perspectiva

  1. Usa un lápiz de color para dibujar las imágenes de los puntos \(P\) y \(Q\), usando \(C\) como el centro de dilatación y un factor de escala 4. Etiqueta los nuevos puntos con \(P’\) y \(Q’\).
  2. Usa un color diferente para dibujar las imágenes de los puntos \(P\) y \(Q\), usando \(C\) como centro de dilatación y un factor de escala \(\frac12\). Etiqueta los nuevos puntos con \(P’’\) y \(Q’’\).

    Points C, Q and P.  Points C, Q and P form almost a right angle and the distance between points C and Q is twice as long as between points P and Q.

    Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu diagrama. Luego, tu profesor te dará un factor de escala para que lo uses en la siguiente parte.

  3. Ahora, vas a hacer un dibujo con perspectiva. Este es un rectángulo.

    Yellow circle with black outline of rectangle in the middle.
    1. Elige un punto dentro de la región circular sombreada, pero por fuera del rectángulo para usarlo como centro de dilatación. Etiquétalo con \(C\).

    2. Usando tu centro \(C\) y el factor de escala que te dieron, dibuja la imagen al realizar la dilatación de cada vértice del rectángulo, uno a la vez. Une los vértices dilatados para crear el rectángulo dilatado.

    3. Dibuja un segmento que una cada uno de los vértices originales con su imagen. ¡Esto hará que tu diagrama se vea como un dibujo genial de una caja tridimensional! Si queda tiempo, puedes sombrear los lados de la caja para que se vea más realista.

    4. Compara tu dibujo con el de otras personas. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cómo afectan las decisiones que tomaste al dibujo final? ¿Tu rectángulo dilatado quedó más cerca o más lejos de \(C\) que el rectángulo original?, ¿de qué depende eso?



Este es el segmento de recta \(DE\) y su imagen \(D’E’\) al realizar una dilatación.

Line segment D E and its image D prime E prime under a dilation. D E and D prime E prime appear to be parallel and D E is four times longer than D prime E prime.
  1. Usa una regla para encontrar y dibujar el centro de dilatación. Etiquétalo \(F\).
  2. ¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?

Resumen

Si \(A\) es el centro de dilatación, ¿cómo podemos averiguar cuál punto es la dilatación de \(B\) con factor de escala 2?

Ray A B. Point D is between A and B closer to A, and point C is to the left of point B. There is about the same distance between A and B as there is between C and B.

Como el factor de escala es mayor que 1, el punto debe estar más lejos de \(A\) que lo que está \(B\), por lo que \(C\) es el punto que buscamos. Si medimos la distancia entre \(A\)\(C\), encontraríamos que es exactamente el doble de la distancia entre \(A\)\(B\).

Una dilatación con factor de escala menor que 1 acerca los puntos. El punto \(D\) es la dilatación de \(B\) con centro \(A\) y factor de escala \(\frac{1}{3}\).

Entradas del glosario

  • centro de una dilatación

    El centro de una dilatación es un punto fijo en un plano. Es el punto desde el cual medimos las distancias en una dilatación.

    En este diagrama, el punto \(P\) es el centro de la dilatación.

    A dilation
  • dilatación

    Una dilatación es una transformación en la cual cada punto de una figura cambia su distancia a un punto fijo al moverse sobre la recta que pasa por el punto fijo. El punto fijo es el centro de la dilatación. Todas las distancias originales se multiplican por el mismo factor de escala.

    Por ejemplo, el triángulo \(DEF\) es una dilatación del triángulo \(ABC\). El centro de la dilatación es \(O\) y el factor de escala es 3.

    Esto significa que todos los puntos del triángulo \(DEF\) están 3 veces tan lejos de \(O\) como todos los puntos correspondientes del triángulo \(ABC\).

    2 triangles. Triangle DEF is a dilation of triangle ABC.
  • factor de escala

    Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Ese número se llama el factor de escala.

    En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque \(4 \boldcdot (1.5) = 6\), \(5 \boldcdot (1.5)=7.5\), and \(6 \boldcdot (1.5)=9\).

    2 triangles