4.6 Multipliquemos y dividamos números de varios dígitos

Esta es una lista de los primeros diez múltiplos de 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

1. Marca los múltiplos de 10 que están en la lista.

2. ¿Qué observas sobre la posición de los múltiplos de 10 en la lista?

3. ¿Por qué crees que pasa eso?

Encuentra el valor de cada expresión.

1. \(14 \times 7\)

2. \(13 \times 6\)

3. \(23 \times 4\)

4. \(85 \div 5\)

En la escuela de Jada hay 418 estudiantes. En la escuela de Noah hay 135 estudiantes menos. ¿Cuántos estudiantes hay en total en las escuelas de Jada y Noah? Explica o muestra cómo razonaste.

1. ¿Cuál es el valor del dígito 6 en cada uno de los números?

   1. 165

   2. 18,622

   3. 675,219

2. Completa esta afirmación para que sea verdadera:

   El valor del 6 en 675,219 es _______________ veces el valor del 6 en 165.

Encuentra el valor de la suma y el valor de la diferencia.

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1. Mai sigue una regla para construir un patrón de fichas cuadradas. ¿Cómo podrían ser las 2 figuras que siguen en el patrón de Mai? Haz un dibujo de las figuras o descríbelas.

   

   

2. ¿En algún paso del patrón de Mai habrá una figura que tenga 20 cuadrados? Explica tu razonamiento.

Han escribe las letras a, s, d y f. Luego, las repite en ese orden, una y otra vez.

1. ¿Cuál es la letra número 5 que escribirá?, ¿la número 10?, ¿la número 20?
2. Si Diego enumera las letras que escribe, empezando con 1 para la primera a, ¿qué números le corresponderán a las 6 primeras letras f que escriba?
3. ¿Qué observas acerca de los números que le corresponden a las letras f?

Este es el primer rectángulo de un patrón. En cada paso del patrón de rectángulos, el lado corto se mantiene igual y el lado largo crece 2 centímetros.

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1. Dibuja los rectángulos de los 4 pasos que siguen en el patrón. Incluye el largo y el ancho de cada rectángulo.
2. ¿Es posible que el perímetro de algún rectángulo, en centímetros, sea un número par? Explica tu razonamiento.
3. ¿Es posible que el área de algún rectángulo, en centímetros cuadrados, sea un número par? Explica tu razonamiento.

1. Haz una lista de los primeros diez múltiplos de 8.
2. ¿Qué patrón observas en los dígitos de la posición de las unidades? ¿Cómo están cambiando los dígitos?
3. ¿Por qué crees que están cambiando de esta forma?

1. Haz listas de los múltiplos de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Detente cuando obtengas un múltiplo de 10. Por ejemplo, la lista del 2 es: 2, 4, 6, 8, 10.

2. ¿Qué observas acerca de tus listas? Haz varias observaciones.

Tyler hace este dibujo y escribe la ecuación: \(1 + 3 + 5 = 9\).

1. ¿Cómo piensas que se relaciona la ecuación con el dibujo?
2. Tyler sigue dibujando círculos para hacer cuadrados más grandes. ¿Cuántos círculos nuevos necesita dibujar para hacer un cuadrado de 4 por 4 y cuántos más para luego hacer un cuadrado de 5 por 5?
3. ¿Qué patrón observas sobre el número de círculos que agrega Tyler cada vez?
4. ¿Por qué piensas que el número de círculos aumenta de esa forma?

Este es un patrón de cuadrados que crece y se van formando rectángulos.

1. Encuentra el área y el perímetro de los rectángulos de los pasos 2 y 3.

   paso	número de cuadrados	área del rectángulo (unidades cuadradas)	perímetro del rectángulo (unidades)
   1	2	2	6
   2
   3

2. Piensa en los patrones que ves en la tabla. Sigue escribiendo los valores en cada columna como si los patrones continuaran con los pasos 4 y 5.

3. Dibuja los dos diagramas que siguen (para los pasos 4 y 5). ¿Fueron correctas tus predicciones del área y del perímetro de cada rectángulo?

4. ¿Cómo le describirías este patrón a un compañero de clase?

Mai y Tyler están haciendo cada uno su propio patrón.

Algunos de los símbolos de sus patrones son los mismos y otros son diferentes. La tabla muestra los primeros seis símbolos del patrón de Mai y los primeros cuatro símbolos del patrón de Tyler.

1. ¿Cuáles son los siguientes dos símbolos del patrón de Tyler? Explica tu razonamiento.
2. ¿En qué paso crees que Mai y Tyler van a escribir el mismo símbolo? Explica o muestra cómo lo sabes.

Mai tiene una hoja de calcomanías que tiene 23 filas y 8 calcomanías en cada fila.

1. ¿Mai tiene más de 100 o menos de 100 calcomanías? Explica cómo razonaste.
2. Encuentra cuántas calcomanías tiene Mai. Explica o muestra cómo razonaste.

Encuentra el valor de \(7 \times 64\). Si te ayuda, usa un diagrama.

1. Usa el diagrama para encontrar el valor de \(8 \times 573\).

   

   

2. Encuentra el valor de \(4 \times 3,\!516\).

   

   

1. Usa el diagrama para encontrar el valor de \(47 \times 62\).

   

   

2. ¿Este diagrama te puede ayudar a encontrar el valor de \(47 \times 62\)? Explica tu razonamiento.

   

   

El diagrama y los cálculos muestran dos formas de encontrar el valor de \(2,\!518 \times 6\).

1. ¿Cómo se relaciona cada parte del cálculo vertical con el diagrama?

2. Encuentra el valor de \(3,\!172 \times 5\) usando el método que quieras.

Este es un cálculo incompleto de \(65 \times 43\) en el que se usan productos parciales.

1. Escribe expresiones de multiplicación que estén representadas por los números 15, 180, 200 y 2,400. Luego, encuentra el valor de \(65 \times 43\).

   

   

2. Encuentra el valor del producto \(45 \times 38\).

Así fue como Elena calculó el valor de \(723 \times 3\):

1. ¿De dónde viene el 9 que está en el cálculo de Elena?, ¿de dónde viene el 6?
2. ¿De dónde vienen el 2 y el 1 que están en el cálculo?
3. Usa el método de Elena para encontrar el valor de \(534 \times 2\).

En el distrito escolar A hay 4,218 estudiantes. El distrito escolar B tiene 3 veces la cantidad de estudiantes que tiene el distrito escolar A. ¿Cuántos estudiantes hay en el distrito escolar B? Explica o muestra cómo razonaste.

Clare estaba revisando sus respuestas de algunos productos. Sin hacer los cálculos otra vez, ella supo que estas respuestas eran incorrectas. ¿Cómo crees que lo supo?

1. \(5 \times 5,\!783 = 27,\!914\)
2. \(7 \times 8,\!419= 54,\!253\)
3. \(9 \times 9,\!999= 99,\!999\)

Esta es la estrategia de Mai para encontrar el valor de \(9 \times 8,\!235\).

1. Explica por qué funciona el método de Mai.
2. Usa el método de Mai para encontrar el valor de \(9 \times 6,\!789\).
3. Encuentra el valor de \(9 \times 6,\!789\) usando una estrategia que hayas aprendido. ¿En qué se parecen tu estrategia y el método de Mai? ¿En qué son diferentes?

1. Si 5 lápices cuestan 95 centavos, ¿cuánto cuesta cada lápiz? Explica o muestra cómo razonaste.

2. Si 68 lápices de colores se reparten equitativamente entre 4 estudiantes, ¿cuántos lápices recibe cada estudiante? Explica o muestra cómo razonaste.

Priya escribe los múltiplos de un número y 63 está en su lista. El número de Priya no es 1.

1. ¿Cuál podría ser el número de Priya? Explica cómo razonaste.
2. El último número de la lista de Priya es 112. ¿Cuál es el número de Priya? ¿Cuántos números hay en la lista de Priya?

Clare tiene 194 baldosas cuadradas. ¿Puede ella poner todas sus baldosas en 6 filas que tengan el mismo número de baldosas? Explica o muestra cómo razonaste.

Un largo pasillo rectangular mide 8 pies de ancho y tiene un área de 368 pies cuadrados. ¿Cuánto mide de largo el pasillo?

1. Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división que representen la situación.
2. Encuentra el largo del pasillo. Explica o muestra tu razonamiento.

Acá se muestra 378 representado con bloques en base diez.

Usa palabras, diagramas o ecuaciones para mostrar cómo se pueden usar los bloques en base diez para encontrar el valor de \(378 \div 6\).

Estos dos cálculos de \(864 \div 4\) están incompletos. Completa ambos cálculos para encontrar el valor del cociente.

A

\(\begin{align} 800\div 4&= 200\\ 40\div 4 &= \phantom{010}\\ 20 \div 4 &= \phantom{005} \\4 \div 4&= \phantom{001} \\ \overline {\hspace{5mm}864 \div 4} &\overline{\hspace{1mm}= \phantom{000000}}\\ \end{align}\)

B

1. Usa cocientes parciales para encontrar el valor de \(637 \div 4\).
2. Si hay 637 palillos y 4 personas, ¿qué podría significar \(637 \div 4\) en esta situación? ¿Qué podría significar cada paso de tu algoritmo?
3. ¿Qué representa el valor del cociente en la situación?

En una huerta hay 875 duraznos que se van a poner en cajas. En cada caja se van a poner 9 duraznos. ¿Cuántas cajas se necesitan? Explica tu razonamiento.

Considera la expresión \(286 \div 5\).

1. Escribe una historia de división que tenga una pregunta que se pueda responder encontrando el valor de \(286 \div 5\). Después, contesta la pregunta.
2. Escribe otra historia que tenga una pregunta que se pueda responder encontrando el valor de \(286 \div 5\).

Mai usa una estrategia especial para concluir que 531 es un múltiplo de 9. Ella dice: “Cada centena es 11 nueves más 1 y cada decena es nueve más 1, entonces 531 es 58 nueves más nueve”.

1. Dale sentido al razonamiento de Mai y explícalo. ¿531 es un múltiplo de 9?
2. Usa el razonamiento de Mai para decidir si 648 es un múltiplo de 9.

1. Una autora voló 4 horas en avión por un viaje de trabajo. El avión recorrió 478 millas cada hora. ¿Cuántas millas recorrió?
2. Un fotógrafo manejó durante 4 horas por un viaje de trabajo. El automóvil recorrió 57 millas cada hora. ¿Cuántas millas recorrió?
3. ¿Cuántas millas más recorrió la autora que el fotógrafo?

1. ¿Cuál es el perímetro del campo? Explica o muestra cómo razonaste.

   

   

2. ¿Cuál es el área del campo? Explica o muestra cómo razonaste.

Un constructor está cubriendo el piso de una habitación rectangular que mide 23 pies por 25 pies con baldosas que miden 1 pie por 1 pie. En la tienda venden las baldosas en cajas de 12.

Diego dice que se necesitan 59 cajas de baldosas para cubrir el piso y que sobrarán pocas baldosas.

1. ¿La respuesta de Diego es razonable? Explica o muestra cómo razonaste.
2. ¿Cuántas cajas de baldosas comprarías para cubrir este piso? Explica o muestra cómo razonaste.

Busca una habitación rectangular en tu casa o en la escuela.

1. ¿Cuál unidad escogerías para medir el largo y el ancho: pulgadas, pies o yardas? Explica tu razonamiento.
2. Mide el largo y el ancho al número entero más cercano.
3. Encuentra el perímetro y el área de la habitación.
4. ¿Puedes encontrar una pareja de largo y ancho de una habitación que tenga el mismo perímetro, pero un área diferente?
5. ¿Puedes encontrar una pareja de largo y ancho de una habitación que tenga la misma área, pero un perímetro diferente?

El área de un rectángulo es 720 centímetros cuadrados. Un lado mide 6 centímetros más que el otro. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Explica o muestra tu razonamiento.