Lección 17

Encontremos funciones inversas para resolver problemas

  • Usemos funciones inversas para resolver problemas.

Problema 1

  1. La tabla muestra el valor de un automóvil, en miles de dólares, cada año desde que se compró. Grafica los datos y encuentra una recta que se ajuste a los datos.

    antigüedad (años) valor (miles de dólares)
    0 30.0
    1 22.5
    2 19.0
    3 16.0
    4 13.5
    5 11.4
    horizontal axis, vehicle age in years. scale 0 to 9, by 1's. vertical axis, car value in thousands of dollars. scale 0 to 36, by 4's. 
  2. Escribe una ecuación para la función lineal, \(C\), que da el valor del automóvil, en miles de dólares, cuando tiene \(t\) años de antigüedad.
  3. ¿Qué significa \(C(6)\) en esta situación? ¿Cuál es el valor de \(C(6)\)?
  4. En esta situación, ¿qué nos dice la solución de la ecuación \(C(t) = 2\)? Encuentra la solución.
  5. Escribe una ecuación que nos permitiría saber la antigüedad del automóvil si sabemos \(C(t)\).
  6. Usa tu ecuación para estimar la antigüedad del automóvil cuando su valor sea \$500.

Problema 2

La distancia \(d\), en kilómetros, que recorre un automóvil a una velocidad de 80 km por hora, durante \(t\) horas, está dada por la ecuación \(d=80t\).

  1. Si el automóvil ha recorrido 120 kilómetros, ¿durante cuánto tiempo ha estado en movimiento?
  2. Reescribe la ecuación para que represente el tiempo, \(t\), como función de la distancia, \(d\).

Problema 3

Empareja cada función con su inversa.

A:

\(y=2x-3\)

B:

 \(y=3x\)

C:

\(y=3x-2\)

D:

\(y=x-2\)

E:

\(y=x+2\)

F:

\(y=\dfrac{x-2}{3}\)

1:

\(x=\dfrac{y+2}{3}\)

2:

\(x=\dfrac{y+3}{2}\)

3:

\(x=3y+2\)

4:

\(x=y+2\)

5:

\(x=\dfrac{y}{3}\)

6:

\(x=y-2\)

Problema 4

Las funciones \(h\) y \(j\) son inversas la una de la otra. Cuando \(x\) es -10, el valor de \(h(x)\) es 7. Es decir, \(h(\text-10)=7\).

  1. ¿Cuál es el valor de \(j(7)\)?

  2. Decide si cada punto está en la gráfica de \(h\), en la gráfica de \(j\) o en ninguna de las dos. Explica tu razonamiento.

    1. \((\text-10,7)\)
    2. \((7,\text-10)\)

Problema 5

Los grillos hacen sonidos llamados “chirridos” al frotar sus alas. El número de chirridos que hacen está estrechamente relacionado con la temperatura ambiente. Cuando la temperatura está entre 55 y 100 grados Fahrenheit, ¡podemos saber la temperatura contando el número de chirridos!

A photo of a cricket.

Una fórmula que se usa comúnmente para encontrar la temperatura en grados Fahrenheit es la siguiente:

  • se cuenta el número de chirridos en 14 segundos,
  • a este número se le suma 40 para obtener la temperatura.

Llamemos \(n\) al número de chirridos que hacen los grillos en 14 segundos y \(F\) a la temperatura en grados Fahrenheit.

  1. ¿Cuál es la temperatura cuando un grillo hace 52 chirridos en 14 segundos?
  2. Escribe una ecuación que defina \(F\) como función de \(n\).
  3. ¿Cuántos chirridos esperarías escuchar en 14 segundos si la temperatura es 60 grados Fahrenheit?
  4. Escribe una ecuación que defina \(n\) como función de \(F\).
(de la Unidad 4, Lección 16.)

Problema 6

Describe el dominio y rango de la función representada por esta gráfica.​​​​​​

Piece wise function. 
(de la Unidad 4, Lección 12.)

Problema 7

La tarifa del estacionamiento \(R\) para un automóvil es una función de \(t\), la cantidad de horas que está estacionado.

  1. Encuentra \(R(1)\).
  2. Encuentra \(R(4.5)\).
  3. Encuentra \(R(8)\).
(de la Unidad 4, Lección 12.)

Problema 8

Estas reglas definen la función \(f\).

\(\displaystyle \displaystyle f(x)=\begin{cases} 2, & \text-5\leq x\leq 1 \\ x, & 1< x< 5 \\ 7, & 5\leq x\leq 7\\ \end{cases} \)

Dibuja la gráfica de \(f\).

Blank coordinate grid, origin O. X axis from negative 6 to 6 by 2's. Y axis from 0 to 6 by 2's.  
(de la Unidad 4, Lección 12.)