Lección 14

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Esta es una recta numérica que va desde 0 hasta 1.

1. Marca el punto medio entre 0 y 1. ¿Cuál es la representación decimal de ese número?
2. Marca el punto medio entre 0 y el último punto que marcaste. ¿Cuál es la representación decimal de ese número?
3. Repite el paso dos. ¿Cómo hallaste el valor de este número?
4. Describe cómo cambia el valor de los puntos medios que has agregado a la recta numérica a medida que hallas más. ¿Cómo cambian las representaciones decimales? 

1. Los números racionales son fracciones y sus opuestos. Todos estos números son números racionales. Muestra que son números racionales escribiéndolos en la forma \(\frac{a}{b}\) o \(\text -\frac{a}{b}\).

   1. 0.2
   2. \(\text -\sqrt{4}\)
   3. 0.333
   4. \(\sqrt[3]{1000}\)
   5. -1.000001
   6. \(\sqrt{\frac19}\)

2. Todos los números racionales también tienen representaciones decimales. Halla la representación decimal de cada uno de estos números racionales.

   1. \(\frac38\)
   2. \(\frac75\)
   3. \(\frac{999}{1000}\)
   4. \(\frac{111}{2}\)
   5. \(\sqrt[3]{\frac18}\)

1. Etiqueta las marcas de la recta numérica que está más arriba. Después, halla la primera cifra decimal de \(\frac{2}{11}\) utilizando división larga y estima dónde se debe ubicar \(\frac{2}{11}\) sobre la primera recta numérica.

2. Etiqueta las marcas de la segunda recta numérica. Halla la siguiente cifra decimal de \(\frac{2}{11}\) continuando con la división larga y estima dónde se debe ubicar \(\frac{2}{11}\) sobre la segunda recta numérica. Agrega flechas desde la segunda hasta la tercera recta numérica para hacer un acercamiento a la ubicación de \(\frac{2}{11}\).

3. Repite el paso anterior para las rectas numéricas restantes.

4. ¿Cuál crees que es la expansión decimal de \(\frac{2}{11}\)?

Anteriormente, aprendimos que los números racionales son una fracción o el opuesto de una fracción. Por ejemplo, \(\frac34\) y \(\text-\frac52\) son números racionales. Una expresión numérica que se ve complicada también puede ser un número racional, siempre y cuando el valor de la expresión sea una fracción positiva o negativa. Por ejemplo, \(\sqrt{64}\) y \(\text-\sqrt[3]{\frac18}\) son números racionales porque \(\sqrt{64} = 8\) y \(\text-\sqrt[3]{\frac18} = \text-\frac12\).

Los números racionales también se pueden escribir utilizando notación decimal. Algunos tienen expansiones decimales finitas, como 0.75, -2.5 o -0.5. Otros números racionales tienen expansiones decimales infinitas, como 0.7434343 . . . donde los 43 se repiten indefinidamente (por siempre). Para evitar escribir la parte que se repite una y otra vez, utilizamos la notación \(0.7\overline{43}\) para este número. La barra que se encuentra sobre una parte de la expresión nos indica cuál es la parte que se repite indefinidamente.

La expansión decimal de un número nos ayuda a ubicarlo con precisión sobre una recta numérica que esté dividida en décimas. Por ejemplo, \(0.7\overline{43}\) debe estar entre 0.7 y 0.8. Cada dígito decimal adicional aumenta la precisión de nuestra ubicación. Por ejemplo, el número \(0.7\overline{43}\) está entre 0.743 y 0.744.