Lección 10
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Exploremos algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras.
10.1: La estimación más cercana: raíces cuadradas
¿Cuál estimación es la más cercana al valor real de la expresión? Explica tu razonamiento.
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\(\sqrt{24}\)
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4
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4.5
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5
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\(\sqrt7\)
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2
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2.5
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3
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\(\sqrt{42}\)
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6
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6.5
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7
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\(\sqrt{10}\) + \(\sqrt{97}\)
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13
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13.25
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13.5
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10.2: Un atajo
Mai y Tyler estaban parados en una esquina de un gran campo rectangular y decidieron hacer una carrera hasta la esquina opuesta. Como Mai tenía una bicicleta y Tyler no, ellos pensaron que sería justo que Mai montara su bicicleta por la acera que rodea el campo y que Tyler corriera la distancia más corta a través del campo, directamente hacia la otra esquina. El campo tiene 100 metros de largo y 80 metros de ancho. Tyler puede correr a aproximadamente 5 metros por segundo y Mai puede montar su bicicleta a aproximadamente 7.5 metros por segundo.
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Antes de realizar algún cálculo, ¿quién crees que ganará?, ¿por cuánto? Explica tu razonamiento.
- ¿Quién gana? Muestra tu razonamiento.
Puede que sea necesario que uses una calculadora para responder las siguientes preguntas. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.
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Si pudieras dar al perdedor de la carrera una ventaja inicial, ¿cuánto tiempo necesitaría para que ambas personas lleguen al mismo tiempo?
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Si pudieras hacer que el ganador fuera más despacio, ¿qué tan despacio debería ir para que ambas personas lleguen al mismo tiempo?
10.3: Dimensiones internas
Estos son dos prismas rectangulares:
- ¿Cuál figura crees que tiene la diagonal más larga? Ten en cuenta que las figuras no están dibujadas a escala.
- Calcula las longitudes de ambas diagonales. ¿Cuál es en realidad más larga?
Resumen
El teorema de Pitágoras se puede usar para resolver cualquier problema que se pueda modelar con un triángulo rectángulo en el que se conocen las longitudes de dos lados y se debe hallar la longitud del otro lado. Por ejemplo, digamos que se va a colocar un cable en un terreno plano para sujetar una torre. El cable mide 17 pies y se debe sujetar a 15 pies de altura en la torre. ¿Qué tan lejos de la parte inferior de la torre se debe sujetar el otro extremo del cable en el suelo?
A menudo es bastante útil hacer un diagrama de una situación, tal como el que se muestra aquí:
Se supone que la torre forma un ángulo recto con el suelo. Como este es un triángulo rectángulo, la relación entre sus lados es \(a^2+b^2=c^2\), donde \(c\) representa la longitud de la hipotenusa y \(a\) y \(b\) representan las longitudes de los otros dos lados. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Al reemplazar los valores se obtiene \(a^2+15^2=17^2\). Al despejar \(a\) se obtiene \(a=8\). Entonces el otro extremo del cable se debe sujetar en el suelo a 8 pies de la parte inferior de la torre.
Entradas del glosario
- cateto
Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.
Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada cateto está etiquetado.
- hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado que está opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada hipotenusa está etiquetada.
- teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras describe la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Es diagrama muestra un triángulo rectángulo con cuadrados construidos en cada lado. Si sumamos las áreas de los dos cuadrados más pequeños, obtenemos el área del cuadrado grande.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto se escribe como \(a^2+b^2=c^2\).
