Unidad 6 materiales para la familia
Expresiones y ecuaciones
Ecuaciones en una variable
Esta semana nuestros estudiantes van a aprender a visualizar, escribir y resolver ecuaciones. En grados anteriores, hicieron este trabajo con números. En grado 6, usaremos a menudo una letra llamada una variable para representar un número cuyo valor es desconocido. Los diagramas pueden ayudarnos a entender la relación entre cantidades. Este es un ejemplo de un diagrama de ese tipo:
![Tape diagram. 3 equal parts labeled, x, Total, 15.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/ySnUtBcY9Mhr6ntCPLwXj8mF?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.6.A1.PP.Rev.Image.0202.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.6.A1.PP.Rev.Image.0202.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=f990078a24d95c9c58a23c3bc92466a3883620e2c396aca4a8c420f308059f62)
Como hay 3 partes están marcados con la misma variable \(x\), sabemos que cada uno de las partes representa el mismo número. Algunas ecuaciones que podemos asociar a este diagrama son \(x+x+x=15\) y \(15=3x\).
Una solución de una ecuación es un número que, al remplazar a la variable por él, hace verdadera la ecuación. En el ejemplo anterior, la solución es 5. Pensemos en sustituir \(x\) por 5 en ambas ecuaciones: \(5+5+5=15\) y \(15=3 \boldcdot 5\) son ambas verdaderas. Podemos decir, por ejemplo, que 4 no es una solución, porque \(4+4+4\) no es igual a 15.
Resolver una ecuación es un proceso para hallar una solución. Nuestros estudiantes aprenderán que una ecuación como \(15=3x\) puede resolverse dividiendo cada lado entre 3. Observe que si dividimos cada lado entre 3, \(15 \div 3 = 3x \div 3\), obtenemos \(5=x\), que es la solución de la ecuación.
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
Dibujen un diagrama que represente cada ecuación. Luego, resuelvan cada ecuación.
\(\displaystyle 2y=11\)
\(\displaystyle 11=x+2\)
Solución:
![Tape diagram. 2 equal parts labeled, y, Total, 11.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/Ujp9i11JcByc6xadWt873Yt9?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.6.A.FSM.Rev.Image.0505.asdfasdf.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.6.A.FSM.Rev.Image.0505.asdfasdf.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=4f402e7f4bf7eccab07e0fe3ca7636f06149b3522f5874e4b9d0632fbb921292)
![Tape diagram. 2 parts labeled x, 2. Total, 11.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/ZnQW6km46EqituqXzLjWFbUw?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.6.A1.PP.Rev.Image.0101.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.6.A1.PP.Rev.Image.0101.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=bf6691af73e7e4e57009a2026e48167d3d1256a548b0e93a10c19b324b331996)
\(\displaystyle y=5.5 \text{ o }y=\frac{11}{2}\)
\(\displaystyle x=9\)
Iguales y equivalentes
Esta semana nuestros estudiantes van a escribir expresiones matemáticas, especialmente expresiones en las que van a usar la propiedad distributiva.
![A partitioned rectangle.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/KtPHB1aJB2qNCzCUyLyuHnyD?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.6.B2.Image.71.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.6.B2.Image.71.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=0c8fb35865dfc94112ce746981b8e1c96db2b87bf4342ae4a7a252ae7a28a491)
En este diagrama, observamos que uno de los lados del rectángulo grande mide 3 unidades y el otro mide \(x + 2\) unidades. Así, el área del rectángulo grande es \(3(x+2)\). El rectángulo grande se puede partir en dos rectángulos pequeños, A y B, sin superposición. El área de A es 6 y el área de B es \(3x\). Entonces, el área del rectángulo grande también puede escribirse como \(3x + 6\). En otras palabras, \(\displaystyle 3(x+2)=3x+3\boldcdot2\) Este es un ejemplo de la propiedad distributiva.
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
Dibujen y marquen un rectángulo partido para mostrar que cada una de estas ecuaciones siempre es verdadera, sin importar el valor de las letras.
- \(5x+2x=(5+2)x\)
- \(3(a+b)=3a+3b\)
Solución:
Las respuestas pueden variar. Ejemplos de respuestas:
![Area diagram. Rectangle partitioned vertically into two smaller rectangles.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/jyaNAuAfKDEpBZMD1PeVVvZe?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.6.FSM.B.x52DPrect.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.6.FSM.B.x52DPrect.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=1c9be091fdd6fd433477206ff9f36722edc1e95dea0c60b165842a3345f56b64)
![Area diagram. Rectangle partitioned vertically into two smaller rectangles.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/RvndJ9Y4EwJshZfBZzasPWyW?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226-6.6.FSM.B.3abDPrect.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276-6.6.FSM.B.3abDPrect.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=d8073182b057f570475384bf3a06bfcbfe194d39c0b64d31a09e940252ed69eb)
Expresiones con exponentes
Esta semana nuestros estudiantes estarán trabajando con exponentes. Cuando escribimos una expresión como \(7^n\), llamamos a \(n\) el exponente. En este ejemplo, el 7 se llama la base. Los exponentes nos dicen cuántas veces debemos multiplicar la base por sí misma. Por ejemplo, \(7^4\) es igual a \(7 \boldcdot 7 \boldcdot 7 \boldcdot 7\). En grado 6, nuestros estudiantes van a escribir expresiones con exponentes enteros y bases que pueden ser:
- números enteros, como \(7^4\)
- fracciones, como \(\left(\frac17\right) ^ 4\)
- decimales, como \(7.7^4\)
- variables, como \(x^4\)
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
Recuerden que una solución de una ecuación es un número que hace verdadera la ecuación. Por ejemplo, una solución de \(x^5=30+x\) es 2, pues \(2^5=30+2\). Por otro lado, 1 no es una solución, pues \(1^5\) no es igual a \(30+1\). Encuentren la solución de cada ecuación, buscándola en la lista dada al final.
- \(n^2=49\)
- \(4^n=64\)
- \(4^n=4\)
- \(\left(\frac{3}{4}\right)^2=n\)
- \(0.2^3=n\)
- \(n^4=\frac{1}{16}\)
- \(1^n=1\)
- \({3^n} \div {3^2}=3^3\)
Lista: \(0, 0.008, \frac12, \frac{9}{16}, \frac{6}{8}, 0.8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)
Solución:
- 7, porque \(7^2=49\) (observen que -7 también es una solución, pero en grado 6 todavía no se espera que nuestros estudiantes sepan cómo multiplicar números negativos).
- 3, porque \(4^3=64\)
- 1, porque \(4^1=4\)
- \(\frac{9}{16}\), porque \(\left(\frac{3}{4}\right)^2\) significa \(\left(\frac{3}{4}\right) \boldcdot \left(\frac{3}{4}\right)\)
- 0.008, porque \(0.2^3\) significa \((0.2) \boldcdot (0.2) \boldcdot (0.2)\)
- \(\frac12\), porque \(\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)
- ¡Cualquier número! \(1^n=1\) es verdadero, sin importar qué número usen como valor de \(n\).
- 5, porque podemos reescribirlo como \({3^n} \div 9=27\). ¿Qué valor, al dividirlo entre 9, da 27? 243, porque \(27 \boldcdot 9=243\). \(3^5=243\).
Relaciones entre cantidades
Esta semana, nuestros estudiantes van a estudiar relaciones entre dos cantidades. Por ejemplo, una moneda de un cuarto de dólar vale 25ȼ, y por eso podemos representar la relación entre el número de monedas de un cuarto de dólar (\(n\)) y su valor (\(v\)) en centavos así:
\(\displaystyle v = 25n\)
También podemos utilizar una tabla para representar esta situación.
O podemos dibujar una gráfica para representar la relación entre las dos cantidades:
\(n\) | \(v\) |
---|---|
1 | 25 |
2 | 50 |
3 | 75 |
![](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/KGE5XQvCSg4scuzwVrgHeb8X?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%226.5.FSM.DE.image.01_es.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%276.5.FSM.DE.image.01_es.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240703%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240703T032309Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=97ffd79cdf08437f09a644e6d7e08ce2ad556798e90e837ff2006e6ebfc839e2)
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
Un cliente está comprando barras de granola. El costo de cada barra de granola es \$0.75.
- Escriban una ecuación que muestre el costo de las barras de granola (\(c\)) en términos del número de barras compradas (\(n\)).
- Elaboren una gráfica que represente valores asociados de \(c\) y \(n\).
- ¿Cuáles son las coordenadas de algunos puntos de su gráfica? ¿Qué representan?
Solución:
- \(c=0.75n\). Cada barra de granola cuesta \$0.75 y el cliente está comprando \(n\) de ellas, entonces el costo es \(0.75n\).
- Las respuestas pueden variar. Una forma de crear una gráfica es marcar el eje horizontal con "número de barras" (con intervalos 0, 1, 2, 3, etc.) y marcar el eje vertical con "costo total en dólares" (con intervalos 0, 0.25, 0.50, 0.75, etc.).
- Si se elabora la gráfica como lo describimos acá, la primera coordenada corresponde al número de barras de granola y la segunda corresponde al costo en dólares de ese número de barras de granola. Algunos puntos de esa gráfica son \((2,1.50)\) y \((10,7.50)\).