Lección 5

Introducción a las relaciones lineales

Exploremos algunas relaciones entre dos variables.

5.1: Conversación numérica: división de fracciones

Encuentra el valor de \(2\frac58 \div \frac12\).

5.2: Armemos torres de vasos

Tenemos dos torres de vasos de poliestireno.

  • Una torre tiene 6 vasos y su altura es de 15 cm.
  • La otra tiene 12 vasos y su altura es de 23 cm.

¿Cuántos vasos se necesitan para una torre que tenga una altura de 50 cm?

 

6 styrafoam cups 15 centimeters, 12 styrafoam cups 23 centimeters

5.3: Relacionemos la pendiente con la tasa de cambio

  1. Si no creaste antes tu propia gráfica de la situación, hazlo ahora.
  2. ¿De qué maneras puedes saber que el número de vasos no es proporcional a la altura de la torre?
  3. ¿Cuál es la pendiente de la recta en tu gráfica? ¿Qué significa la pendiente en esta situación?
  4. ¿En qué punto se interseca tu recta con el eje vertical? ¿Qué dicen las coordenadas de este punto sobre los vasos?
  5. Después del primer vaso, ¿qué altura agrega cada vaso a la torre?
     

Resumen

Andre comienza a cuidar niños y cobra $10 por el viaje desde y hacia el trabajo, y $15 por cada hora. Por cada hora adicional que trabaja, él cobra otros $15. Si graficamos las ganancias de Andre partiendo de cuánto tiempo trabaja, tenemos una recta que comienza en $10 en el eje vertical y luego aumenta en $15 cada hora. Una relación lineal es cualquier relación entre dos cantidades en la que una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

Podemos determinar la tasa de cambio usando la gráfica. Debido a que la tasa de cambio es constante, podemos tomar dos puntos en la gráfica y dividir la cantidad de cambio vertical entre la cantidad de cambio horizontal. Por ejemplo, tomemos los puntos \((2, 40)\) y \((6, 100)\). Estos significan que Andre gana $40 por trabajar 2 horas y $100 por trabajar 6 horas. La tasa de cambio es de \(\frac{100-40}{6-2} = 15\) dólares por hora. Las ganancias de Andre suben $15 por cada hora en que cuida niños.

Observa que esta es la misma forma en que calculamos la pendiente de la recta. Por eso la gráfica es una recta y llamamos a esto una relación lineal. La tasa de cambio de una relación lineal es la misma que la pendiente de su gráfica.

Con las relaciones proporcionales estamos acostumbrados a que las gráficas contengan el punto \((0,0)\). Pero las relaciones proporcionales son solo un tipo de relación lineal. En las siguientes lecciones, continuaremos explorando el otro tipo de relación lineal en que las cantidades no son ambas 0 al mismo tiempo.

Entradas del glosario

  • relación lineal

    Que haya una relación lineal entre dos cantidades significa que se relacionan así: siempre que una cantidad cambia en una cierta cantidad, la otra cantidad cambia en otra cantidad fija. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

    La relación se llama lineal pues su gráfica es una línea recta.

    Esta gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.

    Siempre que el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día. Por lo tanto, la relación es lineal.