Lección 9

Fórmula para el área de un triángulo

Escribamos y usemos una fórmula para hallar el área de un triángulo.

9.1: Bases y alturas de un triángulo

Estudia los ejemplos y los no-ejemplos de bases y alturas en un triángulo.

  • Estos segmentos punteados representan las alturas del triángulo.

    Three copies of a triangle. Each copy shows a different base and height pair.
  • Estos segmentos punteados no representan las alturas del triángulo.

    Three copies of a triangle. Each copy has a different side labeled base and a line from the base that is not the height.

Escoge todas las afirmaciones verdaderas acerca de las bases y las alturas en un triángulo.

  1. Cualquier lado de un triángulo puede ser una base.
  2. Hay una sola altura posible.
  3. Una altura siempre es uno de los lados de un triángulo.
  4. Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse formando un ángulo agudo con la base.
  5. Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse formando un ángulo recto con la base.
  6. Una vez escogemos una base, existe solo un segmento que representa la altura correspondiente.
  7. Un segmento que represente una altura tiene que pasar por un vértice.

9.2: Encontremos una fórmula del área de un triángulo

  • En cada triángulo, etiqueta un lado que se pueda usar como la base y un segmento que muestre su altura correspondiente.
  • Escribe las medidas de la base y la altura en la tabla y halla el área del triángulo (la longitud de lado de cada cuadrado en la cuadrícula es 1 unidad).
Four triangles labeled A--D on a grid.
triángulo base (unidades) altura (unidades) área (unidades cuadradas)
A      
B      
C      
D      
cualquier triángulo \(b\) \(h\)  

En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier triángulo, usando \(b\) y \(h\)

9.3: Usemos la fórmula del área de triángulos

En cada triángulo, etiqueta la medida de una base que puedas usar para hallar el área del triángulo. Después, halla el área en tres de los triángulos que elijas. Muestra tu razonamiento.

Five triangles, labeled A, B, C, D, and E.

 

Resumen

  • Podemos llamar base a cualquiera de los tres lados de un triángulo. El término "base" se refiere tanto al lado como a su longitud (la medida).     
  • La altura correspondiente es la longitud de un segmento perpendicular que va de la base hasta el vértice opuesto a ella. El vértice opuesto es el vértice que no es un punto extremo de la base.     

Estas son tres parejas de bases y alturas del mismo triángulo. Los segmentos punteados en los diagramas representan las alturas.

Three images of a triangle, each with a different side labeled “base” and an accompanying dashed line perpendicular to the base indicating the height.

Un segmento que representa una altura se puede dibujar formando un ángulo recto con la base, pero se puede dibujar en más de un lugar. No tiene que pasar por el vértice opuesto, siempre y cuando una la base y una recta paralela a la base que atraviese el vértice opuesto, como se muestra aquí.   

Triangle with 3 perpendicular heights drawn

Las parejas de base y altura en un triángulo están relacionadas estrechamente con las de un paralelogramo. Recuerda que dos copias de un triángulo pueden componerse para formar uno o más paralelogramos. Cada paralelogramo comparte por lo menos una base con el triángulo.    

Two identical triangles, each with a copy composing the triangle into two different parallelograms.

Para cualquier base que ellos compartan, también comparten la altura correspondiente, como se muestra con los segmentos punteados.

Podemos usar la medidas de base y altura y nuestro conocimiento sobre paralelogramos para hallar el área de cualquier triángulo.    

  • La fórmula del área de un paralelogramo con base \(b\) y altura \(h\) es \(b\boldcdot h\).     
  • Un triángulo ocupa la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma base y altura, entonces podemos expresar el área \(A\) de un triángulo así:
    \(\displaystyle A=\frac{1}{2}\boldcdot b \boldcdot h\)      
Three figures: triangle A with base 5 and height 6; triangle B with base 3 and height 3; triangle C with base 12 and height 4.
  • El área del triángulo A es 15 unidades cuadradas, porque \(\frac12 \boldcdot 5 \boldcdot 6=15\).

  • El área del triángulo B es 4.5 unidades cuadradas, porque \(\frac12 \boldcdot 3 \boldcdot 3 = 4.5\).    

  • El área del triángulo C es 24 unidades cuadradas, porque \(\frac12 \boldcdot 12 \boldcdot 4 = 24\).   

En cada caso, un lado del triángulo es la base pero ninguno de los otros lados es la altura. Esto ocurre porque el ángulo entre ellos no es un ángulo recto.    

Sin embargo, en los triángulos rectángulos, los dos lados que son perpendiculares pueden ser una base y una altura.

El área de este triángulo es 18 unidades cuadradas, sin importar si usamos 4 unidades o 9 unidades para la base.   

A right triangle with legs of length 4 and 9.

Entradas del glosario

  • vértice opuesto

    Para cada lado de un triángulo hay un vértice que no está sobre ese lado. A este lo llamamos el vértice opuesto (opuesto a ese lado).

    Por ejemplo, el punto \(A\) es el vértice opuesto al lado \(BC\).  

    triangle with points labeled A, B, C.