Lección 8

Área de triángulos

Usemos lo que sabemos sobre paralelogramos para encontrar el área de triángulos.

8.1: Compongamos paralelogramos

 Este es el triángulo M.

A triangle labeled “M”. The left side is 4 units tall and the top side is 6 units wide.

Han hizo una copia del triángulo M y compuso tres paralelogramos diferentes usando el M original y la copia, como se muestra aquí.

3 different parallelograms on a grid composed of Triangle M and a copy.
  1. Para cada paralelogramo que Han compuso, identifica una base y una altura correspondiente, y escribe las medidas en el dibujo.

  2. Encuentra el área de cada paralelogramo que Han compuso. Muestra tu razonamiento.

8.2: Más triángulos

Encuentra el área de al menos dos de los siguientes triángulos. Muestra tu razonamiento.

Four triangles on a grid labeled A--D.

 

8.3: Descompongamos un paralelogramo

  1. Tu profesor te dará dos copias de un paralelogramo. Pega con cinta o pegamento una copia de tu paralelogramo aquí y encuentra su área. Muestra tu razonamiento.

  2. Descompón la segunda copia de tu paralelogramo cortando a lo largo de las rectas punteadas. Toma solo el triángulo pequeño y el trapecio, y reorganiza estas dos piezas en un paralelogramo diferente. Pega con la cinta o el pegamento en tu papel el nuevo paralelogramo que acabas de componer.

  3. Encuentra el área del nuevo paralelogramo que compusiste. Muestra tu razonamiento.
  4. ¿Qué observas sobre la relación entre el área de este nuevo paralelogramo y el área del paralelogramo original?
  5. ¿Cómo se compara el área del triángulo grande con la del nuevo paralelogramo: es más grande, igual o más pequeña? ¿Por qué?
  6. Pega con cinta o pegamento el triángulo grande que está debajo. Usa cualquier parte del trabajo anterior como ayuda para encontrar su área. Muestra tu razonamiento.



¿Puedes descomponer este triángulo y reorganizar sus partes para formar un rectángulo? Describe cómo se podría hacer.

Triangle 

 

Resumen

Podemos razonar sobre el área de un triángulo usando lo que sabemos sobre paralelogramos. Estas son tres formas de hacerlo:

  • Hacer una copia del triángulo y unir el original y la copia a lo largo de un lado para crear un paralelogramo. Como los dos triángulos tienen la misma área, una copia del triángulo tiene la mitad del área de ese paralelogramo.

    El área del paralelogramo B es 16 unidades cuadradas porque la base es 8 unidades y la altura es 2 unidades. El área del triángulo A es la mitad de esto, es decir 8 unidades cuadradas. El área del paralelogramo D es 24 unidades cuadradas porque la base es 4 unidades y la altura es 6 unidades. El área del triángulo C es la mitad de esto, es decir, 12 unidades cuadradas.
         

  • Descomponer el triángulo en pedazos más pequeños y recomponerlos en un paralelogramo.

    Two images of a triangle. 

    En el nuevo paralelogramo, \(b = 6\), \(h = 2\) y \(6 \boldcdot 2 = 12\), luego su área es 12 unidades cuadradas. Dado que el triángulo original y el paralelogramo están compuestos por las mismas partes, el área del triángulo original también es 12 unidades cuadradas.      

  • Dibujar un rectángulo alrededor del triángulo. Algunas veces el triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.

    Triangle drawn 3 times on grid. Base = 6, height = 3. In middle rectangle drawn around triangle. On right height drawn.

    El rectángulo grande se puede descomponer en rectángulos más pequeños. El de la izquierda tiene un área de \(4 \boldcdot 3\), es decir 12 unidades cuadradas; el de la derecha tiene un área de \(2 \boldcdot 3\), es decir 6 unidades cuadradas. El triángulo grande también se descompone en dos triángulos rectángulos. Cada uno de los triángulos rectángulos es la mitad de un rectángulo más pequeño, entonces sus áreas son 6 unidades cuadradas y 3 unidades cuadradas. El triángulo grande tiene un área de 9 unidades cuadradas.

    Algunas veces el triángulo es la mitad de lo que queda del rectángulo después de eliminar dos copias de los triángulos rectángulos más pequeños.

    Three images of the same triangle.

    Los triángulos rectángulos que se eliminan se pueden unir para componer un rectángulo pequeño con área \((2 \boldcdot 3)\) unidades cuadradas. Lo que queda es un paralelogramo con un área \(5 \boldcdot 3 - 2 \boldcdot 3\), que equivale a \(15-6\), es decir 9 unidades cuadradas ¡Observa que podemos componer el mismo paralelogramo con dos copias del triángulo original! El triángulo original es la mitad del paralelogramo, por lo que su área es \( \frac {1}{2} \boldcdot 9\), es decir \(4.5\) unidades cuadradas.